Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

Lý thuyết Toán 9 Bài 6: Biến thay đổi đơn giản và giản dị biểu thức căn thức bậc hai

Bạn đang xem: Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 9

A. Lý thuyết

1. Đưa một quá số ra bên ngoài lốt căn

• Với a ≥ 0, b ≥ 0, tớ có: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$. Phép thay đổi này được gọi là phép fake quá số ra bên ngoài lốt căn.

• Thông thường, tớ nên thay đổi biểu thức bên dưới lốt căn về dạng phù hợp rồi mới nhất triển khai được phép tắc fake quá số ra bên ngoài lốt căn.

• cũng có thể dùng phép tắc fake quá số ra bên ngoài lốt căn nhằm rút gọn gàng biểu thức chứa chấp căn thức bậc nhị.

Ví dụ 1.

a) $\sqrt{3^2.5}=\sqrt{3^2}.\sqrt{5}=3\sqrt{5}$;

b) $$\begin{gathered} \sqrt{18}=\sqrt{9.2} \\ =\sqrt{3^2}.\sqrt{2}=3\sqrt{2} \end{gathered}$$

Tổng quát: Với nhị biểu thức A, B tuy nhiên B ≥ 0 tớ đem $\sqrt{A^2.B}=\left|A\right|\sqrt{B}$, tức là:

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}$;

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì $\sqrt{A^{2}B}=-A\sqrt{B}$.

Ví dụ 2. Đưa quá số ra bên ngoài căn:

a) $\sqrt{9x{y}^2}$với x ≥ 0, hắn < 0;

b) $\sqrt{20x^{2}y}$với x ≥ 0, hắn ≥ 0.

Lời giải:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{9x{y}^2}=\sqrt{{\left(3y\right)}^{2}x} \\ =\left|3y\right|\sqrt{x}=-3y|\sqrt{x} \end{gathered}$$

(với x ≥ 0, hắn < 0);

b)

$$\begin{gathered} \sqrt{20x^{2}y}=\sqrt{4x^2.5y} \\ =\sqrt{{\left(2x\right)}^2.5y} \end{gathered}$$

$=\left|2x\right|\sqrt{5y}=x\sqrt{5y}$

(với x ≥ 0, hắn ≥ 0).

2. Đưa quá số nhập vào lốt căn

• Phép fake quá số ra bên ngoài lốt căn đem phép tắc thay đổi ngược với nó là phép tắc fake quá số nhập vào lốt căn.

Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$.

Với A < 0 và B ≥ 0 thì $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$.

Ví dụ 2. Đưa quá số nhập vào căn:

a) $5\sqrt{2}$;

b) $2a^2\sqrt{3a}$ với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $$\begin{gathered} 5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2} \\ =\sqrt{25.2}=\sqrt{50} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} 2a^2\sqrt{3a}=\sqrt{{\left(2a^2\right)}^2.3a} \\ =\sqrt{4a^4.3a}=\sqrt{12a^5} \end{gathered}$$

với a ≥ 0.

• cũng có thể dùng phép tắc fake quá số nhập vào (hoặc rời khỏi ngoài) lốt căn nhằm đối chiếu những căn bậc nhị.

Ví dụ 3. So sánh $3\sqrt{5}$ và $\sqrt{18}$.

Lời giải:

Ta có: $3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{45}$.

Vì $\sqrt{45}>\sqrt{18}$ nên $3\sqrt{5}>\sqrt{18}$.

3. Khử hình mẫu của biểu thức lấy căn

Tổng quát: Với những biểu thức A, B tuy nhiên A. B ≥ 0 và B ≠ 0, tớ có:

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}$.

Ví dụ 4. Khử hình mẫu của biểu thức lấy căn

a) $\sqrt{\frac{3}{7}}$;

b) $\sqrt{\frac{11}{9a^3}}$ với a > 0

Lời giải:

a) $$\begin{gathered} \sqrt{\frac{3}{7}}=\sqrt{\frac{3.7}{7.7}} \\ =\frac{\sqrt{3.7}}{\sqrt{7^2}}=\frac{\sqrt{21}}{7} \end{gathered}$$

b) Vì a > 0 nên 3a > 0. Do tê liệt |3a| = 3a;

Vì a > 0 nên 9a³ > 0. Do tê liệt |9a³| > 9a³.

Khi tê liệt,

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{11}{9a^3}}=\sqrt{\frac{11.9a^3}{9a^3.9a^3}} \\ =\frac{\sqrt{11a.9a^2}}{\sqrt{{\left(9a^3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{11a}.\sqrt{9a^2}}{\left|9a^3\right|} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{\left|3a\right|\sqrt{11a}}{\left|9a^3\right|}=\frac{3a\sqrt{11a}}{9a^3} \\ =\frac{\sqrt{11a}}{3a^2} \end{gathered}$$

4. Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở hình mẫu số là thay đổi nhằm biểu thức tê liệt thất lạc căn thức ở hình mẫu số.

Tổng quát:

• Với những biểu thức A, B tuy nhiên B > 0 tớ có:

$\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$.

• Với những biểu thức A, B, C tuy nhiên A ≥ 0, A ≠ B², tớ có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}$.

• Với những biểu thức A, B, C tuy nhiên A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B tớ có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$.

Ví dụ 5. Trục căn thức ở mẫu

a) $\frac{9}{\sqrt{2}-1}$;

b) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ .

Lời giải:

a) $\frac{9}{\sqrt{2}-1}=\frac{9(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

$$\begin{gathered} =\frac{9\sqrt{2}+9}{2-1}=\frac{9\sqrt{2}+9}{1} \\ =9\sqrt{2}+9 \end{gathered}$$

b) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$

$=\frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4}=\sqrt{7}+\sqrt{3}$

B. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1. So sánh:

a) $5\sqrt{2}$ và $\sqrt{38}$;

b) $4\sqrt{3}$ và 8.

Lời giải:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} 5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2} \\ =\sqrt{25.2}=\sqrt{50} \end{gathered}$$

Vì 50 > 38 nên $\sqrt{50}>\sqrt{38}$hay $5\sqrt{2}>\sqrt{38}$.

Vậy $5\sqrt{2}>\sqrt{38}$.

b) Ta có:

$$\begin{gathered} 4\sqrt{3}=\sqrt{4^2.3} \\ =\sqrt{16.3}=\sqrt{48} \end{gathered}$$

$8=\sqrt{8^2}=\sqrt{64}$;

Vì 48 < 64 nên $\sqrt{48}<\sqrt{64}$ hay $4\sqrt{3}<8$.

Vậy $4\sqrt{3}<8$.

Bài 2. Rút gọn

a) $\frac{5}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{2{(x+y)}^2}{5}}$ với x ≥ 0, hắn ≥ 0 và x ≠ y;

b) $\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2(a^2-4a+4)}$ với a > 2.

Lời giải:

a) Vì x ≥ 0 và hắn ≥ 0 nên x + hắn ≥ 0.

Khi tê liệt, |x + y| = x + hắn.

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{5}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{2{(x+y)}^2}{5}} \\ =\frac{5}{x^2-y^2}\sqrt{\frac{2}{5}.{(x+y)}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{5}{x^2-y^2}.\sqrt{\frac{2}{5}}.\sqrt{{(x+y)}^2} \\ =\frac{|x+y|}{(x+y)(x-y)}.5.\sqrt{\frac{2}{5}} \end{gathered}$$

$=\frac{(x+y)}{(x+y)(x-y)}.\sqrt{\frac{5^2.3}{5}}$

$=\frac{1}{x-y}.\sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{x-y}$

b) Ta có: $\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2(a^2-4a+4)}$

$=\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2(a^2-2.2.a+2^2)}$

$=\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2{(a-2)}^2}$

$=\frac{3}{a-2}.\sqrt{6}.\sqrt{a^2}.\sqrt{{(a-2)}^2}$

$=\frac{3}{a-2}.\sqrt{6}.\left|a\right|.|a-2|$

Vì a > 2 nên a > 0 suy rời khỏi |a| = a.

Vì a > 2 nên |a – 2| = a – 2.

Do tê liệt,

$$\begin{gathered} \frac{3}{a-2}.\sqrt{6}.\left|a\right|.|a-2| \\ =\frac{3}{a-2}.\sqrt{6}.a.(a-2) \end{gathered}$$

$=3a\sqrt{6}$

Vậy $\frac{3}{a-2}\sqrt{6a^2(a^2-4a+4)}=3a\sqrt{6}$ .

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 6: Biến thay đổi đơn giản và giản dị biểu thức chứa chấp căn thức bậc hai

Câu 1: Đưa quá số 5x$\sqrt{\frac{-12}{x^3}}$(x < 0) nhập vào lốt căn tớ được?

Câu 2: Khử hình mẫu biểu thức sau xy$\sqrt{\frac{4}{x^2{y}^2}}$với x > 0; hắn > 0 tớ được:

Câu 3: Cho những biểu thức A, B, C tuy nhiên A, B, C > 0, xác định này sau đấy là đúng?

Câu 4: Với nhị biểu thức A, B tuy nhiên A, B$\ge$ 0, tớ có:

Câu 5: Đưa quá số $\sqrt{144{\left(3+2a\right)}^4}$ ra bên ngoài lốt căn tớ được?

A. 12(3 + 2a)⁴

B. 144(3 + 2a)²

C. −12(3 + 2a)²

D. 12(3 + 2a)²

Câu 6: Khử hình mẫu biểu thức sau −xy$\sqrt{\frac{3}{xy}}$ với x < 0; hắn < 0 tớ được:

Câu 7: Đưa quá số −7x$\sqrt{2xy}$(x$\ge$0, y$\ge$0) nhập vào lốt căn tớ được?

Câu 8: Đưa quá số x$\sqrt{\frac{-35}{x}}$(x < 0) nhập vào lốt căn tớ được?

$$\begin{gathered} A.\sqrt{-35x} \\ B.-\sqrt{-35x} \\ C.\sqrt{35} \\ D.\sqrt{35x^2} \end{gathered}$$

Câu 9: Cho những biểu thức A, B tuy nhiên A. B 0; B > 0, xác định này sau đấy là đúng?

Câu 10: So sánh nhị số $5\sqrt{3}$và $4\sqrt{5}$

Trắc nghiệm Toán 9 Bài 7: Biến thay đổi đơn giản và giản dị biểu thức ko căn thức bậc nhị (Tiếp theo)

Câu 1: Phương trình

$\frac{2}{3}\sqrt{9x-9}-\frac{1}{4}\sqrt{16x-16}+27\sqrt{\frac{x-1}{81}}=4$

có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Câu 2: Rút gọn gàng biểu thức

$7\sqrt{x}+11y\sqrt{36x^5}-2x^2\sqrt{16x{y}^2}-\sqrt{25x}$

với x$\ge$ 0; y$\ge$ 0 tớ được thành quả là:

Câu 3: Rút gọn gàng biểu thức

$5\sqrt{a}+6\sqrt{\frac{a}{4}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}+5\sqrt{\frac{4a}{25}}$

với a > 0, tớ được thành quả là:

Câu 4: Trục căn thức ở hình mẫu biểu thức $\frac{6}{\sqrt{x}+\sqrt{2y}}$ với a$\ge$0; a$\ge$4 tớ được:

Câu 5: Trục căn thức ở hình mẫu biểu thức $\frac{2a}{2-\sqrt{a}}$ với a$\ge$0; a$\ne$4 tớ được:

$$\begin{gathered} A.\frac{-2a\sqrt{a}+4a}{4-a} \\ B.\frac{2a\sqrt{a}-4a}{4-a} \\ C.\frac{2a\sqrt{a}+4a}{4-a} \\ D.-\frac{2a\sqrt{a}+4a}{4-a} \end{gathered}$$

Câu 6: Tính độ quý hiếm biểu thức

$\left(\frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-\sqrt{1}}\right):\frac{1}{2\sqrt{5}-\sqrt{6}}$

A. 28

B. 14

C. −14

D. 15

Câu 7: Trục căn thức ở hình mẫu biểu thức $\frac{3}{6+\sqrt{3a}}$với a$\ge$0; a$\ne$12 tớ được:

Câu 8: Cho phụ thân biểu thức P.. =$x\sqrt{y}+y\sqrt{x}$; Q = $x\sqrt{x}+y\sqrt{y}$; R = x – hắn. Biểu thức này bằng với biểu thức $\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)$ với x, hắn ko âm?

A. P

B. Q

C. R

D. P.. – Q

Câu 9: Trục căn thức ở hình mẫu biểu thức$\frac{4}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}}$ với x$\ge$0; y$\ge$0; x$\ne \frac{4}{9}y$ tớ được:

Câu 10: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{9x^2-16}=3\sqrt{3x-4}$ là:

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem thêm thắt những bài bác tổng phải chăng thuyết Toán lớp 9 khá đầy đủ, cụ thể khác:

Lý thuyết Rút gọn gàng biểu thức chứa chấp căn thức bậc hai

Lý thuyết Căn bậc ba

Xem thêm: Dòng điện là gì? | Hioki

Lý thuyết Ôn tập luyện chương 1

Lý thuyết Căn bậc hai

Lý thuyết Căn thức bậc nhị và hằng đẳng thức căn bậc hai(A^2)= |A|